Returns the numeric integral of the given expression over the given range.
The integrate function returns the numeric integral of f with the variable
var from a to b.
This is mathematically written as:
This integral is the same as the area between the function f and the x-axis from a to b
where the area under the axis is counted negative.
f may be any function with the variable indicated as the second argument var.
a and b may be any numerische Ausdrücke that evaluate to
reelle Zahlen or they can be -INF or INF to indicate negative or positive infinity.
integrate does not calculate the integral exactly.
Instead the calculation is done using the Gauss-Kronrod 21-point integration rule adaptively to a estimated relative error less than 10-3.
f(x)=integrate(t^2-7t+1, t, -3, 15) will integrate f(t)=5t^3+t^2-7t+1 from -3 to 15 and evaluate to 396. More useful is f(x)=integrate(s*sin(s), s, 0, x). This will plot the integral of f(s)=s*sin(s) from 0 to x, which is the same as the definite integral of f(x)=x*sin(x).
Returns the summation of an expression evaluated over a range of integers.
The sum function returns the summation of f where var is evaluated for all integers from a to b.
This is mathematically written as:
f may be any function with the variable indicated as the second argument var.
a and b may be any numerische Ausdrücke that evaluate to integers.
Returns the product of an expression evaluated over a range of integers.
The product function returns the product of f where var is evaluated for all integers from a to b.
This is mathematically written as:
f may be any function with the variable indicated as the second argument var.
a and b may be any numerische Ausdrücke that evaluate to integers.
Liefert die Fakultät des Arguments zurück.
Die fact-Funktion liefert die Fakultät von n zurück, allgemein beschrieben mit n!. n kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine positive Ganzzahl darstellt. Die Funktion ist als fact(n)=n(n-1)(n-2)...1 definiert, und die Beziehung zur gamma-Funktion ist fact(n)=gamma(n+1).
Liefert den Wert der Euler'schen Gammafunktion des Arguments.
Die gamma-Funktion liefert das Ergebnis der Euler'schen Gammafunktion von z, allgemein beschrieben mit Γ(z). z kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt. Die Beziehung zwischen Gammafunktion und Fakultäts-Funktion ist fact(n)=gamma(n+1). Die mathematische Definition der Gammafunktion ist:
Dies läßt sich nicht präzise berechnen, daher benutzt Graph für die Annäherung das sogenannte Lanczos-Verfahren, um die gamma-Funktion zu berechnen.
Liefert den Wert der Euler'schen Beta Funktion zu den Argumenten.
Die beta-Funktion liefert das Ergebnis der Euler'schen Betafunktion von m und n. m und n können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen oder Komplexe Zahlen darstellen. Die Beziehung zwischen der beta-Funktion und der gamma-Funktion ist beta(m, n) = gamma(m) * gamma(n) / gamma(m+n).
Liefert den Wert der Euler'schen Beta Funktion zum Argument.
Die W-Funktion liefert das Ergebnis der Lambert W-function (auch: Omega-Funktion) für z. z kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt. Die Umkehrfunktion zu W ist f(W)=W*eW.
Für reelle Werte von z - bei z < -1/e - liefert die W-Function Werte mit einem Imaginärteil.
Liefert den Wert der Riemannschen Zetafunktion zum Argument.
Die zeta-Funktion liefert das Ergebnis der Riemannschen Zetafunktion zurück, allgemein beschrieben mit ζ(s). z kann jeder beliebige numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt.
Liefert den Rest der Division des ersten Arguments durch das zweite Argument.
Berechnet m Modulo n, den Teilungsrest von m/n. mod berechnet den Teilungsrest f, wobei m = a*n + f für eine Ganzzahl a ist. Das Vorzeichen von f entspricht immer dem Vorzeichen von n. Wenn n=0=0 ist, liefert mod 0 zurück. m und n können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen darstellen.
Liefert die Normalverteilung des ersten Arguments, optional mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Die dnorm-Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung, auch: Gauß-Verteilung. x ist die Zufallsvariable, μ ist der Erwartungswert und σ ist die Standardabweichung. μ und σ sind optional. Fehlen sie, so wird die Standard-Normalverteilung benutzt, wobei μ=0=0 und σ=1 sind. x, μ und σ können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen darstellen, wobei σ > 0 ist. Die Normalverteilung ist folgendermaßen definiert:
